0.999…＝1はウソじゃない！引き算と足し算で納得できる理由

結論から言うと、\(0.999\ldots\) は 1 より小さい数ではありません。1 と「同じ数」です。

ポイントは「\(\ldots\)（無限に続く）」の意味です。

\(0.99\) のように、どこかで止まる小数とは別物になります。

この記事では、中学生でも追えるスッキリ証明で「なぜ同じと言えるのか」を順番に見ていきます。

セクション1：まずココが核心「最後の9は存在しない」

\(0.9\)、\(0.99\)、\(0.999\) は、どれも 1 より小さいです。

でも \(0.999\ldots\) は「9 が永遠に続く」という書き方です。

ここで、ひっかかりやすいポイントを整理します。

つまり、\(0.999\ldots\) を「1 の直前で止まる数」としては扱いません。

数学では、1 と同じ場所を指す表し方として扱います。

つまずきポイント（中学生あるある）

「\(0.999\ldots=1\)」の証明は追えるのに、「1 の手前で止まっている気がする…」と感じる人は多いです。

研究では、その理由として 「\(0.999\ldots\) を “1 に近づいていく途中” だと思ってしまうこと」や、

「\(\ldots\)（無限に続く）を “たくさん続く” と勘違いしやすいこと」が指摘されています。

だからこのあと紹介する証明は、「計算のテクニック」というより、

“\(\ldots\)” の意味を正しくつかむための確認だと思って読んでみてください。

次は、いちばん有名な証明「引き算で一発」に進みます。

セクション2：証明① 引き算で一発（\(x=0.999\ldots\)）

ここからは定番の証明です✨
コツは、\(0.999\ldots\) を「ある1つの数」だと思って、いったん \(x\) と置くことです。

まず \(0.999\ldots\) を \(x\) と置きます。

（※1）\[ x = 0.999\ldots \]

両方を10倍します（小数点が1つ右にずれるだけです👀）。

（※2）\[ 10x = 9.999\ldots \]

\(0.999\ldots\) の「\(\ldots\)（無限に続く部分）」を消すために、（※2）−（※1） を計算します。ここが気持ちいいところです😊
（※2）と（※1）は小数点以下が同じ並びなので、引くとその部分が打ち消されます。

\[ \text{（※2）−（※1）}\quad 10x – x = 9.999\ldots – 0.999\ldots \]

右側は、\(\;9.999\ldots – 0.999\ldots = 9.000\ldots\;\) となり、これは 9 と同じです。

\[ 9x = 9 \]

両方を9で割ると、

\[ x = 1 \]

最初に（※1）で \(x = 0.999\ldots\) と置いたので、結論はこれです👇

\[ 0.999\ldots = 1 \]

次のセクションでは、別の見方（「無限の足し算」）でも同じ結論になることを確認します✨

セクション3：証明② 無限の足し算（等比級数）で見る

さっきは「引き算で一発」でしたが、ここは“足し算でスッキリ”いきます😊

ポイントは、\(0.999\ldots\) を「無限に続く足し算」として見ることです。

まず、\(\ldots\) は「ずっと続く」という意味なので、\(0.999\ldots\) はこう書けます。

\[ 0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \cdots \]

これを分数にすると、

\[ 0.9=\frac{9}{10},\quad 0.09=\frac{9}{100},\quad 0.009=\frac{9}{1000},\ \ldots \]

なので、

\[ 0.999\ldots = \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots \]

ここで注目👀
後ろに行くほど、前の項の10分の1になっています。つまりこれは等比級数です。

等比級数は、\(|r|<1\) のとき合計（和）が決まるので、次の公式を使えます✨

\[ S=\frac{a_1}{1-r} \]

代入すると、

\[ S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1 \]

つまり、\[ 0.999\ldots = 1 \] となります。足し算で見ても、ちゃんと同じ結論ですね😊

次のセクションでは、「じゃあ止まる小数にも、\(0.999\ldots\) みたいな“別の書き方”があるの？」をサクッと紹介します。

セクション4：止まる小数にも“別の書き方”がある

ここ、ちょっと面白いポイントです✨

実は、止まる小数（有限小数）にも、もう1つの書き方があります。

たとえば \(0.35\) は、\(0.34999\ldots\) と同じ数として表せます。

（「えっ!?」ってなりますよね😊）

やり方は、繰り返し小数を分数に直すときの定番手順（10倍して引き算）と同じです。

最初に \(x=0.34999\ldots\) と置いたので、結論はこうです👇

\[ 0.34999\ldots = 0.35 \]

同じ理屈で、\(0.25 = 0.24999\ldots\) のように「止まる小数 ↔ 9が続く形」のペアが出てきます。

「小数の書き方は1通りじゃない」と分かると、\(0.999\ldots=1\) の違和感も少し薄まります😊

次のセクションでは、「じゃあ \(0.999\ldots\) と 1 の間に、別の数はあるの？」を数直線のイメージで短く整理します。

セクション5：\(0.999\ldots\) と 1 の「間」に数はあるの？

ここ、いちばんモヤっとしやすいところです😵‍💫

「\(0.999\ldots\) と 1 の間に、何か1つくらい数がありそう」って思いますよね。

でも結論はシンプルで、間の数は作れません。

理由はこうです👇

\(0.9\)、\(0.99\)、\(0.999\) …と9を増やしていくほど、1との差は

\[ 1-0.9=0.1,\quad 1-0.99=0.01,\quad 1-0.999=0.001,\ \ldots \]

みたいに、いくらでも小さくできます。

もし「間の数」があるなら、そこには“すき間の幅”（0より大きい差）が必要です。

でも \(0.999\ldots\) は、9を好きなだけ増やせるので、その差をどんなに小さく見積もっても、さらに小さくできてしまうんです。

別の言い方をすると、\(0.999\ldots\) にほんの少し（0より大きい量）を足すと、もう 1 を超えてしまいます。

だから \(0.999\ldots\) は「1より小さいまま、間にとどまる数」ではいられません。

つまり、\[ 0.999\ldots = 1 \] です😊

次はいよいよまとめです✨ ここまでのポイントを「3項目」でスパッと整理します。

まとめ（3項目でスッキリ）

ここまで読めたら、もう \(0.999\ldots\) にモヤっとしないはずです😊